421. Найдутся ли такие целые значения \(x\), при которых значение многочлена \(5x^6+15x^3+25x+7\) является числом: а) чётным; б) нечётным; в) кратным 5?

Рассмотрим чётность и остаток многочлена.

1. а) Если \(x\) чётное, все слагаемые, кроме 7, чётные, поэтому значение нечётное. Если \(x\) нечётное, каждое из четырёх слагаемых нечётное, и их сумма чётная. Значит, такие целые значения есть, например \(x=1\).
2. б) При чётном \(x\) значение многочлена нечётное; например, при \(x=0\) оно равно 7. Значит, такие значения есть.
3. в) По модулю 5 первые три слагаемых дают остаток 0, а \(7\) — остаток 2. Поэтому многочлен никогда не делится на 5.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.