423. x(y'-y) = ex.

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Преобразуем его к стандартному виду \( y' + P(x)y = Q(x) \).

Разделим обе части на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( y' - y = e \).

Здесь \( P(x) = -1 \) и \( Q(x) = e \) (константа).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x} \).

Умножим обе части уравнения на \( e^{-x} \):

\( e^{-x} y' - e^{-x} y = e \cdot e^{-x} \).

\( e^{-x} y' - e^{-x} y = e^{1-x} \).

Левая часть является производной от произведения \( (e^{-x} y)' \):

\( (e^{-x} y)' = e^{1-x} \).

Интегрируем обе части:

\[ e^{-x} y = \int e^{1-x} dx \]

Для интеграла \( \int e^{1-x} dx \) сделаем замену \( u = 1-x \), тогда \( du = -dx \).

\[ \int e^{1-x} dx = \int e^u (-du) = - \int e^u du = -e^u + C = -e^{1-x} + C \]

Получаем:

\( e^{-x} y = -e^{1-x} + C \).

Найдем \( y \):

\( y = e^x (-e^{1-x} + C) = -e^x e^{1-x} + C e^x = -e^{1-x+x} + C e^x = -e + C e^x \).

Ответ: y = Ce^x - e.