Решить линейные уравнения: 421. y'+2y=4x.

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \( y' + P(x)y = Q(x) \), где \( P(x) = 2 \) и \( Q(x) = 4x \).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x} \).

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

\( e^{2x} y' + 2e^{2x} y = 4x e^{2x} \).

Левая часть является производной от произведения \( (e^{2x} y)' \):

\( (e^{2x} y)' = 4x e^{2x} \).

Интегрируем обе части:

\[ e^{2x} y = \int 4x e^{2x} dx \]

Интегрируем по частям \( \int u dv = uv - \int v du \), где \( u = 4x \) и \( dv = e^{2x} dx \). Тогда \( du = 4 dx \) и \( v = \frac{1}{2} e^{2x} \).

\[ \int 4x e^{2x} dx = 4x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 4 dx = 2x e^{2x} - \int 2 e^{2x} dx = 2x e^{2x} - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = 2x e^{2x} - e^{2x} + C \]

Теперь найдем \( y \):

\( e^{2x} y = 2x e^{2x} - e^{2x} + C \).

Разделим на \( e^{2x} \):

\( y = 2x - 1 + C e^{-2x} \).

Ответ: y = 2x - 1 + C e^{-2x}.