424. xy'+y=ex, y(1)=1.

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием. Приведем его к стандартному виду \( y' + P(x)y = Q(x) \).

Разделим обе части на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( y' + \frac{1}{x} y = e^x \).

Здесь \( P(x) = \frac{1}{x} \) и \( Q(x) = e^x \).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x| \).

Будем считать \( x > 0 \) (так как \( y(1) \) дано), тогда \( \mu(x) = x \).

Умножим обе части уравнения на \( x \):

\( x y' + y = x e^x \).

Левая часть является производной от произведения \( (xy)' \):

\( (xy)' = x e^x \).

Интегрируем обе части:

\[ xy = \int x e^x dx \]

Интегрируем по частям \( \int u dv = uv - \int v du \), где \( u = x \) и \( dv = e^x dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = e^x \).

\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x-1) + C \]

Получаем:

\( xy = e^x (x-1) + C \).

Найдем \( y \):

\( y = \frac{e^x (x-1) + C}{x} = e^x (1 - \frac{1}{x}) + \frac{C}{x} \).

Теперь используем начальное условие \( y(1) = 1 \) для нахождения \( C \):

\( 1 = e^1 (1 - \frac{1}{1}) + \frac{C}{1} \).

\( 1 = e (1 - 1) + C \).

\( 1 = e ​ \cdot 0 + C \).

\( 1 = C \).

Подставляем \( C=1 \) в общее решение:

\( y = e^x (1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} = e^x - \frac{e^x}{x} + \frac{1}{x} \).

Ответ: y = e^x - \(\frac{e^x}{x}\) + \(\frac{1}{x}\).