430. Докажите, что: а) \(\log_2 8=3\); б) \(\log_3 \frac{1}{9}=-2\); в) \(\log_{\frac12}\frac{1}{16}=4\); г) \(\log_{\frac15}625=-4\).

Используем определение логарифма: \(\log_a b=c\) тогда и только тогда, когда \(a^c=b\).

1. а) \(2^3=8\), поэтому \(\log_2 8=3\).
2. б) \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\), поэтому \(\log_3\frac{1}{9}=-2\).
3. в) \(\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}\), поэтому \(\log_{\frac12}\frac{1}{16}=4\).
4. г) \(\left(\frac15\right)^{-4}=5^4=625\), поэтому \(\log_{\frac15}625=-4\).