437. Для четырёх точек A, B, C и D известно, что \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Докажите, что середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

Пусть O — середина AD и P — середина BC. Используем радиус-векторы точек.

Из \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) получаем \(\vec B-\vec A=\vec D-\vec C\), откуда \(\vec A+\vec D=\vec B+\vec C\). Поэтому радиус-векторы середин равны:

\(\vec O=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{\vec B+\vec C}{2}=\vec P\). Значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

Обратно, если середины совпадают, то \(\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{\vec B+\vec C}{2}\). Умножая на 2 и переставляя слагаемые, получаем \(\vec B-\vec A=\vec D-\vec C\), то есть \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

Ответ: прямое и обратное утверждения доказаны.