437. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M так, что AM = AB. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.

Обозначим сторону квадрата через a. Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; a). Тогда диагональ AC задаётся уравнением y = x, а из AM = AB = a следует, что M( a/√2; a/√2).

Прямая через M, перпендикулярная AC, имеет наклон −1. При переходе от M к точке H на прямой BC координата x увеличивается на a − a/√2, поэтому координата y настолько же уменьшается. Следовательно, H(a; a(√2 − 1)).

Тогда BH = a(√2 − 1). Кроме того, MH = √2 · a(1 − 1/√2) = a(√2 − 1), поскольку отрезок MH наклонён под углом 45° к осям. Наконец, MC = AC − AM = a√2 − a = a(√2 − 1).

Ответ: BH = HM = MC.