439*. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Обозначим основания трапеции через a и b, а высоту — через h. Опустим перпендикуляры от концов одного основания на прямую, содержащую другое основание. Обозначим горизонтальные проекции боковых сторон через x и y. Тогда a − b = x + y.

Пусть углы при выбранном основании равны α и β, причём α + β = 90°. Из прямоугольных треугольников при боковых сторонах получаем tan α = h/x и tan β = h/y. Так как углы дополняют друг друга до 90°, tan α · tan β = 1, откуда h² = xy.

Средняя линия соединяет середины оснований. Её горизонтальная проекция равна (x − y)/2, а вертикальная — h. Поэтому квадрат её длины равен h² + (x − y)²/4 = xy + (x − y)²/4 = (x + y)²/4. Следовательно, длина средней линии равна (x + y)/2 = |a − b|/2.

Что и требовалось доказать.