Контрольные задания > 44. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили такую точку D, что ∠BDA = = 120°. Найдите ВС, если AD = 12 см.
Вопрос:

44. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили такую точку D, что ∠BDA = = 120°. Найдите ВС, если AD = 12 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Треугольник ABC
  • ∠C = 90°, ∠A = 60°
  • Точка D на BC
  • ∠BDA = 120°
  • AD = 12 см
  • Найти: BC

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим углы в треугольнике ABC. Так как ∠C = 90° и ∠A = 60°, то ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
  2. Шаг 2: Рассматриваем треугольник ABD. Угол ADB = 180° - ∠BDA = 180° - 120° = 60°.
  3. Шаг 3: В треугольнике ABD известны два угла: ∠A = 60° и ∠ADB = 60°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный с основанием AB, и углы при основании равны. Это означает, что ∠B = ∠A = ∠ADB = 60°, то есть треугольник ABD равносторонний.
  4. Шаг 4: В равностороннем треугольнике ABD все стороны равны. Так как AD = 12 см, то AB = BD = AD = 12 см.
  5. Шаг 5: Теперь рассматриваем прямоугольный треугольник ABC. Нам известно, что ∠B = 30°. Мы знаем, что BD = 12 см, и точка D лежит на катете BC.
  6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике ABC, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Это значит, что AC = AB / 2.
  7. Шаг 7: Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
  8. Шаг 8: В прямоугольном треугольнике ABC, катет BC можно найти через тангенс угла A: \( BC = AC an(A) \) или через тангенс угла B: \( AC = BC an(B) \).
  9. Шаг 9: В прямоугольном треугольнике ABC, катет AC = AB * sin(B) = 12 * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
  10. Шаг 10: Катет BC = AB * cos(B) = 12 * cos(30°) = 12 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 6\sqrt{3} \) см.
  11. Шаг 11: Так как D лежит на BC, то BC = BD + DC. Нам нужно найти BC.
  12. Шаг 12: В треугольнике ABD, где все углы по 60°, BD = 12 см.
  13. Шаг 13: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠B = 30°. Катет AC = AB * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
  14. Шаг 14: Катет BC = AB * cos(30°) = 12 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 6\sqrt{3} \) см.
  15. Шаг 15: Мы нашли, что BD = 12 см. Точка D лежит на катете BC.
  16. Шаг 16: В прямоугольном треугольнике ABC, у нас есть: ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°, AB = 12 см.
  17. Шаг 17: Катет BC = AB * cos(30°) = 12 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 6\sqrt{3} \) см.
  18. Шаг 18: Точка D лежит на катете BC, и ∠BDA = 120°. В треугольнике ABD, ∠ADB = 180° - 120° = 60°.
  19. Шаг 19: В треугольнике ABD: ∠A = 60°, ∠ADB = 60°, ∠B = 180° - 60° - 60° = 60°. Значит, треугольник ABD равносторонний, и BD = AB = AD = 12 см.
  20. Шаг 20: Нам нужно найти BC. Так как D лежит на BC, то BC = BD + DC.
  21. Шаг 21: В прямоугольном треугольнике ABC, BC = AB * cos(30°) = 12 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 6\sqrt{3} \) см.
  22. Шаг 22: Мы знаем, что BD = 12 см.
  23. Шаг 23: BC = \( 6\sqrt{3} \) см.
  24. Шаг 24: В треугольнике ABC: ∠B = 30°, AC = AB �b7; sin(30°) = 12 �b7; 0.5 = 6 см.
  25. Шаг 25: BC = AB �b7; cos(30°) = 12 �b7; \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = \( 6\sqrt{3} \) см.
  26. Шаг 26: Точка D лежит на BC.
  27. Шаг 27: В треугольнике ABD, ∠B = 30°, AD = 12 см, ∠BDA = 120°.
  28. Шаг 28: Угол ADB = 180° - 120° = 60°.
  29. Шаг 29: В треугольнике ABD, ∠BAD = 180° - 30° - 60° = 90°. Это противоречит условию, что ∠A = 60° в треугольнике ABC.
  30. Шаг 30: Вернемся к треугольнику ABD. Угол ∠B = 30°. Угол ∠BDA = 120°, значит ∠ADB = 180° - 120° = 60°.
  31. Шаг 31: Сумма углов в треугольнике ABD: ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°. ∠BAD + 30° + 60° = 180°. ∠BAD = 90°.
  32. Шаг 32: Это означает, что в треугольнике ABC, точка D лежит на BC, но угол ∠BAD = 90°. Однако, в треугольнике ABC, ∠A = 60°.
  33. Шаг 33: Рассмотрим треугольник ABC. ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°.
  34. Шаг 34: Точка D лежит на BC. ∠BDA = 120°.
  35. Шаг 35: В треугольнике ABD, ∠B = 30°. Угол ∠ADB = 180° - 120° = 60°.
  36. Шаг 36: Сумма углов в треугольнике ABD: ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°. ∠BAD + 30° + 60° = 180°. ∠BAD = 90°.
  37. Шаг 37: Если ∠BAD = 90°, то это противоречит условию, что ∠BAC = 60°.
  38. Шаг 38: Перепроверим условие. Точка D на катете BC. ∠BDA = 120°.
  39. Шаг 39: В треугольнике ABC: ∠B = 30°.
  40. Шаг 40: В треугольнике ABD: ∠B = 30°, ∠BDA = 120°. Тогда ∠ADB = 60°.
  41. Шаг 41: Угол ∠BAD = 180° - (30° + 60°) = 90°.
  42. Шаг 42: Это означает, что AD перпендикулярно AB.
  43. Шаг 43: В прямоугольном треугольнике ABC, AB - это гипотенуза.
  44. Шаг 44: Из условия ∠A = 60° в треугольнике ABC, мы имеем ∠BAC = 60°.
  45. Шаг 45: Если ∠BAD = 90°, то точка D не может лежать на BC таким образом, чтобы ∠BDA = 120°, если ∠BAC = 60°.
  46. Шаг 46: Возможно, в условии задачи есть некорректность или я неверно интерпретирую.
  47. Шаг 47: Давайте предположим, что ∠A в треугольнике ABC относится к углу ∠BAC.
  48. Шаг 48: В треугольнике ABC: ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, ∠ABC = 30°.
  49. Шаг 49: Точка D лежит на BC. ∠BDA = 120°.
  50. Шаг 50: Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть: ∠ABD = 30° (это тот же угол, что и ∠ABC). AD = 12 см. ∠BDA = 120°.
  51. Шаг 51: Найдем угол ∠BAD в треугольнике ABD. ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠BDA = 180° - 30° - 120° = 30°.
  52. Шаг 52: Так как в треугольнике ABD, ∠ABD = 30° и ∠BAD = 30°, то треугольник ABD равнобедренный с основанием AB. Стороны, противолежащие равным углам, равны: BD = AD.
  53. Шаг 53: Следовательно, BD = 12 см.
  54. Шаг 54: Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC. Мы знаем ∠ABC = 30° и катет BC = BD + DC.
  55. Шаг 55: Мы нашли, что BD = 12 см.
  56. Шаг 56: В прямоугольном треугольнике ABC, мы можем найти BC, зная AB (гипотенузу) или AC (катет).
  57. Шаг 57: Мы не знаем AB или AC напрямую.
  58. Шаг 58: Из треугольника ABD, мы знаем ∠ABD = 30° и BD = 12 см.
  59. Шаг 59: В прямоугольном треугольнике ABC, BC = AC / tan(30°) = AC * \( \sqrt{3} \).
  60. Шаг 60: Также, AC = AB * sin(30°) = AB * 0.5.
  61. Шаг 61: И BC = AB * cos(30°) = AB * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  62. Шаг 62: Мы знаем, что BC = BD + DC.
  63. Шаг 63: Нам нужно найти BC. Мы нашли BD = 12 см.
  64. Шаг 64: Попробуем использовать теорему синусов для треугольника ABD: \( \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle BDA)} \).
  65. Шаг 65: \( \frac{12}{\sin(30°)} = \frac{BD}{\sin(30°)} = \frac{AB}{\sin(120°)} \).
  66. Шаг 66: Из \( \frac{12}{\sin(30°)} = \frac{BD}{\sin(30°)} \), следует, что BD = 12 см.
  67. Шаг 67: Из \( \frac{12}{\sin(30°)} = \frac{AB}{\sin(120°)} \), найдем AB: \( AB = \frac{12 \cdot \sin(120°)}{\sin(30°)} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = 12\sqrt{3} \) см.
  68. Шаг 68: Теперь, в прямоугольном треугольнике ABC, у нас есть гипотенуза AB = \( 12\sqrt{3} \) см и угол ∠B = 30°.
  69. Шаг 69: Найдем катет BC: \( BC = AB \cdot \cos(30°) = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 \) см.
  70. Шаг 70: Проверим: BD = 12 см. DC = BC - BD = 18 - 12 = 6 см.
  71. Шаг 71: В треугольнике ADC: ∠C = 90°, DC = 6 см, AD = 12 см.
  72. Шаг 72: По теореме Пифагора: \( AC^2 + DC^2 = AD^2 \).
  73. Шаг 73: Мы знаем, что AC = AB * sin(30°) = \( 12\sqrt{3} \) * 0.5 = \( 6\sqrt{3} \) см.
  74. Шаг 74: Проверим: \( (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 36 �b7; 3 + 36 = 108 + 36 = 144 \).
  75. Шаг 75: \( AD^2 = 12^2 = 144 \).
  76. Шаг 76: Равенство выполняется.

Ответ: 18 см

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие