441. Найдите, при каком a дробь принимает наибольшее значение, и вычислите это значение: а) (√a − 5)/(a − 25); б) (√a − 4)/(a − 16); в) (3 − √(a + 4))/(5 − a); г) (√(a + 1) − 3)/(a − 8).

Во всех пунктах учитываем область определения и исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю.

а) Пусть t = √a, где t ≥ 0 и t ≠ 5. Тогда

\(\dfrac{\sqrt a-5}{a-25}=\dfrac{t-5}{(t-5)(t+5)}=\dfrac1{t+5}\).

При t ≥ 0 это выражение убывает, поэтому наибольшее значение достигается при t = 0, то есть при a = 0: значение равно 1/5.

б) Пусть t = √a, где t ≥ 0 и t ≠ 4. Тогда

\(\dfrac{\sqrt a-4}{a-16}=\dfrac{t-4}{(t-4)(t+4)}=\dfrac1{t+4}\).

Наибольшее значение достигается при t = 0, то есть при a = 0: значение равно 1/4.

в) Пусть t = √(a + 4), где t ≥ 2 и t ≠ 3. Тогда a = t² − 4, и

\(\dfrac{3-\sqrt{a+4}}{5-a}=\dfrac{3-t}{9-t^2}=\dfrac1{t+3}\).

Выражение убывает при t ≥ 2, поэтому наибольшее значение достигается при t = 2, то есть при a = 0: значение равно 1/5.

г) Пусть t = √(a + 1), где t ≥ 1 и t ≠ 3. Тогда a = t² − 1, и

\(\dfrac{\sqrt{a+1}-3}{a-8}=\dfrac{t-3}{t^2-9}=\dfrac1{t+3}\).

Наибольшее значение достигается при t = 1, то есть при a = 0: значение равно 1/4.

Ответ: а) a = 0, наибольшее значение 1/5; б) a = 0, 1/4; в) a = 0, 1/5; г) a = 0, 1/4.