442. Докажите тождество: а) (√a − 1/√a) · ((√a + 1)/(√a − 1) − (√a − 1)/(√a + 1) + 4√a) = 4a; б) √x + (2√(xy) + y√x − x√y)/√(xy) = √y + 2; в) ((a√a + b√b)/(√a + √b) − √(ab)) : ((3a − 3b)/(√a + √b))² = 1/9; г) ((a√a − b√b)/(√a − √b) + √(ab)) · (√a − √b)/(6b − 6a)² = 1/(36√a − 36√b).

Для пунктов с квадратными корнями предполагаются неотрицательные подкоренные выражения; также знаменатели должны быть ненулевыми.

а) Пусть t = √a. Тогда t > 0 и t ≠ 1. Сначала упростим выражение в скобках:

\(\dfrac{t+1}{t-1}-\dfrac{t-1}{t+1}+4t=\dfrac{(t+1)^2-(t-1)^2}{t^2-1}+4t=\dfrac{4t}{t^2-1}+4t=\dfrac{4t^3}{t^2-1}.\)

Первый множитель \(t-\dfrac1t=\dfrac{t^2-1}{t}\), поэтому всё выражение равно \(\dfrac{t^2-1}{t}\cdot\dfrac{4t^3}{t^2-1}=4t^2=4a\). Тождество доказано.

б) При x > 0 и y > 0 раскрываем дробь по слагаемым:

\(\sqrt x+\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}+\dfrac{y\sqrt x}{\sqrt{xy}}-\dfrac{x\sqrt y}{\sqrt{xy}}=\sqrt x+2+\sqrt y-\sqrt x=\sqrt y+2.\)

Тождество доказано.

в) Пусть p = √a и q = √b. При p + q ≠ 0 и p ≠ q первая скобка равна

\(\dfrac{p^3+q^3}{p+q}-pq=p^2-pq+q^2-pq=(p-q)^2.\)

Выражение \(\dfrac{3a-3b}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{3(p^2-q^2)}{p+q}=3(p-q)\), поэтому его квадрат равен \(9(p-q)^2\). Следовательно, частное равно \(\dfrac{(p-q)^2}{9(p-q)^2}=\dfrac19\). Тождество доказано.

г) Пусть p = √a и q = √b. При p ≠ q имеем

\(\dfrac{a\sqrt a-b\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}+\sqrt{ab}=\dfrac{p^3-q^3}{p-q}+pq=p^2+pq+q^2+pq=(p+q)^2.\)

Кроме того, \((6b-6a)^2=36(p^2-q^2)^2=36(p-q)^2(p+q)^2\). Поэтому левая часть равна

\((p+q)^2\cdot\dfrac{p-q}{36(p-q)^2(p+q)^2}=\dfrac1{36(p-q)}=\dfrac1{36\sqrt a-36\sqrt b}.\)

Тождество доказано.