443. Упростите выражение: а) (a/(a + √(a² − b²)) + a/(a − √(a² − b²))): (2a/b); б) ((√x + √(x + 4))/(√x − √(x + 4)) + (√x − √(x + 4))/(√x + √(x + 4))) · √(x/(x + 4)); в) |(x + √(x² − 2x))/(x − √(x² − 2x)) − (x − √(x² − 2x))/(x + √(x² − 2x))| · √(x/(x² − 4)); г) (√x/(y − √(xy)) + √x/√(xy + y²)) : (2√(xy)/(x² − 2xy + y²)) − √y.

а) Обозначим \(s=\sqrt{a^2-b^2}\). Складываем дроби, используя разность квадратов в знаменателе:

\(\dfrac{a}{a+s}+\dfrac{a}{a-s}=\dfrac{a(2a)}{a^2-s^2}=\dfrac{2a^2}{b^2}.\)

Деление на \(2a/b\) даёт \(\dfrac{2a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b}{2a}=\dfrac ab\).

б) Обозначим \(p=\sqrt x\), \(q=\sqrt{x+4}\). Тогда \(p^2-q^2=-4\), поэтому

\(\dfrac{p+q}{p-q}+\dfrac{p-q}{p+q}=\dfrac{(p+q)^2+(p-q)^2}{p^2-q^2}=-\,(x+2).\)

После умножения на \(\sqrt{\dfrac{x}{x+4}}\) получаем \(-(x+2)\sqrt{\dfrac{x}{x+4}}\), при x ≥ 0.

в) Пусть \(s=\sqrt{x^2-2x}\). Разность дробей равна

\(\dfrac{x+s}{x-s}-\dfrac{x-s}{x+s}=\dfrac{(x+s)^2-(x-s)^2}{x^2-s^2}=\dfrac{4xs}{2x}=2s.\)

На указанной области определения это выражение неотрицательно, поэтому модуль равен 2s. Умножая на второй множитель и упрощая подкоренное выражение, получаем

\(2\sqrt{x^2-2x}\sqrt{\dfrac{x}{x^2-4}}=2\sqrt{\dfrac{x^3}{x+2}}.\)

Область определения исходного выражения: \(x<-2\) или \(x>2\).

г) Обозначим \(p=\sqrt x\), \(q=\sqrt y\). Сумма в скобках равна

\(\dfrac{p}{q(q-p)}+\dfrac{p}{q\sqrt{p^2+q^2}}\) — здесь второй знаменатель исходного выражения равен \(\sqrt{xy+y^2}=q\sqrt{p^2+q^2}\).

Эти дроби не имеют общего простого сокращения, поэтому приведём исходную сумму к явной форме: \(\dfrac{\sqrt x}{y-\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{xy+y^2}}\). Деление на \(\dfrac{2\sqrt{xy}}{(x-y)^2}\) означает умножение на \(\dfrac{(x-y)^2}{2\sqrt{xy}}\). Следовательно, результат:

\(\left(\dfrac{\sqrt x}{y-\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{xy+y^2}}\right)\dfrac{(x-y)^2}{2\sqrt{xy}}-\sqrt y.\)

При чтении изображения знаменатель второй дроби в скобках — \(\sqrt{xy+y^2}\); для этого пункта дальнейшее сокращение без дополнительных условий на x и y не выполняется.