45.3. Решите неравенства: а) $\log_5(3x+1)<2$; б) $\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$; в) $\log_{1/4}\frac{x}{5}>1$; г) $\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 45.3. Решите неравенства: а) $\log_5(3x+1)<2$; б) $\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$; в) $\log_{1/4}\frac{x}{5}>1$; г)…$ Фото задания

45.3. Решите неравенства: а) $\log_5(3x+1)<2$; б) $\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$; в) $\log_{1/4}\frac{x}{5}>1$; г) $\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$.

Accepted Answer

Для каждого логарифма учитываем область допустимых значений: аргумент должен быть положительным. При основании больше 1 логарифмическая функция возрастает, а при основании между 0 и 1 — убывает.

а) Область определения: $3x+1>0$, то есть $x>-\frac13$. Так как $5>1$, получаем $3x+1<5^2=25$, откуда $x<8$. Следовательно, $x\in\left(-\frac13,8\right)$.
б) Область определения: $\frac{x}{3}>0$, то есть $x>0$. Основание $0,5<1$, поэтому знак при переходе к аргументам меняется: $\frac{x}{3}\le (0,5)^{-2}=4$. Следовательно, $x\in(0,12]$.
в) Область определения: $\frac{x}{5}>0$, то есть $x>0$. Основание $\frac14<1$, поэтому $\frac{x}{5}<\frac14$. Следовательно, $x\in\left(0,\frac54\right)$.
г) Область определения: $2x-3>0$, то есть $x>\frac32$. Так как $\sqrt3>1$, имеем $2x-3<(\sqrt3)^4=9$, откуда $x<6$. Следовательно, $x\in\left(\frac32,6\right)$.

Ответ: а) $\left(-\frac13,8\right)$; б) $(0,12]$; в) $\left(0,\frac54\right)$; г) $\left(\frac32,6\right)$.

45.3. Решите неравенства: а) \(\log_5(3x+1)<2\); б) \(\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2\); в) \(\log_{1/4}\frac{x}{5}>1\); г) \(\log_{\sqrt3}(2x-3)<4\).

Ответ: