45.5. Решите неравенства: а) $\log_2(5x-9)\le\log_2(3x+1)$; б) $\log_{0,4}(12x+2)\ge\log_{0,4}(10x+16)$; в) $\log_{1/3}(-x)>\log_{1/3}(4-2x)$; г) $\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 45.5. Решите неравенства: а) $\log_2(5x-9)\le\log_2(3x+1)$; б) $\log_{0,4}(12x+2)\ge\log_{0,4}(10x+16)$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $5x-9>0$ и $3x+1>0$, значит $x>\frac95$. Основание $2>1$, поэтому
$\log_2(5x-9)\le\log_2(3x+1)\iff 5x-9\le3x+1\iff x\le5.$
С учётом области определения: $x\in\left(\frac95,5\right]$.
б) Область определения: $12x+2>0$ и $10x+16>0$, значит $x>-\frac16$. Основание $0,4<1$, поэтому знак при сравнении аргументов меняется:
$\log_{0,4}(12x+2)\ge\log_{0,4}(10x+16)\iff 12x+2\le10x+16\iff x\le7.$
Пересечение условий: $x\in\left(-\frac16,7\right]$.
в) Область определения: $-x>0$ и $4-2x>0$, значит достаточно условия $x<0$. Основание $\frac13<1$, поэтому
$\log_{1/3}(-x)>\log_{1/3}(4-2x)\iff -x<4-2x\iff x<4.$
С учётом области определения: $x\in(-\infty,0)$.
г) Область определения: $6-x>0$ и $4-3x>0$, значит $x<\frac43$. Основание $2,5>1$, поэтому
$\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)\iff 6-x<4-3x\iff x<-1.$
С учётом области определения: $x\in(-\infty,-1)$.

Ответ: а) $\left(\frac95,5\right]$; б) $\left(-\frac16,7\right]$; в) $(-\infty,0)$; г) $(-\infty,-1)$.

45.5. Решите неравенства: а) \(\log_2(5x-9)\le\log_2(3x+1)\); б) \(\log_{0,4}(12x+2)\ge\log_{0,4}(10x+16)\); в) \(\log_{1/3}(-x)>\log_{1/3}(4-2x)\); г) \(\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)\).