45.4. Решите неравенства: а) $\log_5 x>\log_5(3x-4)$; б) $\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x$; в) $\log_{1/3}(5x-9)\ge\log_{1/3}(4x)$; г) $\log_3(8-6x)\le\log_3(2x)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 45.4. Решите неравенства: а) $\log_5 x>\log_5(3x-4)$; б) $\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$ и $3x-4>0$, значит $x>\frac43$. Основание $5>1$, поэтому
$\log_5x>\log_5(3x-4)\iff x>3x-4\iff x<2.$
Пересечение условий: $x\in\left(\frac43,2\right)$.
б) Область определения: $2x-1>0$ и $x>0$, значит $x>\frac12$. Основание $0,6<1$, поэтому при сравнении аргументов знак меняется:
$\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x\iff 2x-1>x\iff x>1.$
С учётом области определения: $x\in(1,+\infty)$.
в) Область определения: $5x-9>0$ и $4x>0$, значит $x>\frac95$. Основание $\frac13<1$, поэтому
$\log_{1/3}(5x-9)\ge\log_{1/3}(4x)\iff 5x-9\le4x\iff x\le9.$
Пересечение условий: $x\in\left(\frac95,9\right]$.
г) Область определения: $8-6x>0$ и $2x>0$, значит $01$, поэтому
$\log_3(8-6x)\le\log_3(2x)\iff 8-6x\le2x\iff x\ge1.$
Пересечение условий: $x\in\left[1,\frac43\right)$.

Ответ: а) $\left(\frac43,2\right)$; б) $(1,+\infty)$; в) $\left(\frac95,9\right]$; г) $\left[1,\frac43\right)$.

45.4. Решите неравенства: а) \(\log_5 x>\log_5(3x-4)\); б) \(\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x\); в) \(\log_{1/3}(5x-9)\ge\log_{1/3}(4x)\); г) \(\log_3(8-6x)\le\log_3(2x)\).