45.3. Решите неравенства: а) $\log_5(3x+1)<2$; б) $\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$; в) $\log_{1/4}x>1$; г) $\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 45.3. Решите неравенства: а) $\log_5(3x+1)<2$; б) $\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$; в) $\log_{1/4}x>1$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $3x+1>0$, то есть $x>-\frac13$. Поскольку основание $5>1$, логарифмическая функция возрастает:
$\log_5(3x+1)<2\iff 3x+1<5^2=25\iff x<8.$
Объединяем с областью определения: $x\in\left(-\frac13,8\right)$.
б) Область определения: $\frac{x}{3}>0$, то есть $x>0$. Основание $0,5$ меньше 1, поэтому функция убывает и знак неравенства меняется:
$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2\iff \frac{x}{3}\le (0,5)^{-2}=4\iff x\le12.$
С учётом области определения: $x\in(0,12]$.
в) Область определения: $x>0$. Основание $\frac14<1$, поэтому функция убывает:
$\log_{1/4}x>1\iff x<\left(\frac14\right)^1=\frac14.$
Ответ: $x\in\left(0,\frac14\right)$.
г) Область определения: $2x-3>0$, то есть $x>\frac32$. Основание $\sqrt3>1$, поэтому функция возрастает:
$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4\iff 2x-3<(\sqrt3)^4=9\iff x<6.$
С учётом области определения: $x\in\left(\frac32,6\right)$.

Ответ: а) $\left(-\frac13,8\right)$; б) $(0,12]$; в) $\left(0,\frac14\right)$; г) $\left(\frac32,6\right)$.

45.3. Решите неравенства: а) \(\log_5(3x+1)<2\); б) \(\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2\); в) \(\log_{1/4}x>1\); г) \(\log_{\sqrt3}(2x-3)<4\).