45. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, её центр — I, а точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через I, — P. Обозначим расстояние от P до плоскости треугольника через h.

1. Опустим из P перпендикуляр на любую сторону треугольника. Его проекция на плоскость треугольника — перпендикуляр из I к этой стороне, длина которого равна r.
2. Эти два перпендикулярных отрезка и расстояние от P до стороны образуют прямоугольный треугольник. Поэтому расстояние от P до выбранной стороны равно \(\sqrt{h^2+r^2}\).
3. Поскольку расстояние от центра вписанной окружности до каждой из трёх сторон одинаково и равно r, полученное расстояние не зависит от выбранной стороны.

Следовательно, каждая точка указанной прямой равноудалена от сторон треугольника.