45. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол A у них общий, а вершина E находится на стороне BC (рис. 262). Найдите сторону ромба, если AB = c и AC = b.

Обозначим сторону ромба через \(x\). Тогда \(AD=AF=DE=EF=x\), причём \(D\) лежит на \(AB\), а \(F на \(AC\). Следовательно, \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{x}{c}\) и \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{x}{b}\).

Так как \(DE\parallel AC\), треугольники \(BDE\) и \(BAC\) подобны. Отсюда \(\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{DE}{AC}\), то есть \(\dfrac{c-x}{c}=\dfrac{x}{b}\).

Решаем: \(b(c-x)=cx\), поэтому \(bc=x(b+c)\) и \(x=\dfrac{bc}{b+c}\).

Ответ: сторона ромба равна \(\dfrac{bc}{b+c}\).