458. Решите графически уравнения: а) $3^{1-x}=2x-1$; б) $4^x+1=6-x$; в) $2^x-2=1-x$; г) $3^{-x}=-\frac{3}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 458. Решите графически уравнения: а) $3^{1-x}=2x-1$; б) $4^x+1=6-x$; в) $2^x-2=1-x$; г) $3^{-x}=-\frac{3}{x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Корень определяется абсциссой точки пересечения графиков левой и правой частей.

а) При $x=1$ левая часть равна $3^0=1$, правая — $2\cdot1-1=1$. Корень: $x=1$. Показательная функция убывает, а правая часть возрастает, поэтому корень единственный.
б) При $x=1$ получаем $4^1+1=5$ и $6-1=5$. Корень: $x=1$. Левая часть строго возрастает, правая убывает, поэтому корень единственный.
в) Перепишем уравнение как $2^x+x-3=0$. При $x=1$: $2+1-3=0$, значит корень $x=1$. Функция $2^x+x-3$ строго возрастает, поэтому других корней нет.
г) Область определения: $x\ne0$. Умножая на $x$, получаем $x3^{-x}=-3$. При $x>0$ левая часть положительна, решений нет. При $x<0$ положим $t=-x>0$; тогда $t3^t=3$. Левая часть строго возрастает и при $t=1$ равна 3, следовательно, $t=1$, то есть $x=-1$.

Ответ: а) 1; б) 1; в) 1; г) −1.

458. Решите графически уравнения: а) \(3^{1-x}=2x-1\); б) \(4^x+1=6-x\); в) \(2^x-2=1-x\); г) \(3^{-x}=-\frac{3}{x}\).