§ 46. Переход к новому основанию логарифма 046.1. Вычислите: a) log₂ 1/3 + log₄ 9; б) log₃ 3√2 + log₃ 1/2; в) log₂₅ 9 - log₅ 3; г) log₁₆ 4 - log₄ 8.

Краткое пояснение:

Для решения этих примеров будем использовать свойства логарифмов, такие как: свойство логарифма произведения, частного, степени, а также формулу перехода к новому основанию.

Пошаговое решение:

1. а) log₂ 1/3 + log₄ 9
   Переведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2.
   log₄ 9 = log₂² 3² = (2/2) log₂ 3 = log₂ 3
   log₂ 1/3 = log₂ 3⁻¹ = -log₂ 3
   Сумма: -log₂ 3 + log₂ 3 = 0.
2. б) log₃ 3√2 + log₃ 1/2
   Используем свойство логарифма произведения: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.
   log₃(3√2) = log₃3 + log₃√2 = 1 + log₃2¹/² = 1 + 1/2 log₃2.
   log₃ 1/2 = log₃2⁻¹ = -log₃2.
   Сумма: 1 + 1/2 log₃2 - log₃2 = 1 - 1/2 log₃2.
3. в) log₂₅ 9 - log₅ 3
   Переведем к основанию 5:
   log₂₅ 9 = log₅² 3² = (2/2) log₅ 3 = log₅ 3.
   Разность: log₅ 3 - log₅ 3 = 0.
4. г) log₁₆ 4 - log₄ 8
   Переведем к основанию 2:
   log₁₆ 4 = log₂⁴ 2² = (2/4) log₂ 2 = 1/2.
   log₄ 8 = log₂² 2³ = (3/2) log₂ 2 = 3/2.
   Разность: 1/2 - 3/2 = -2/2 = -1.

Ответ: а) 0; б) 1 - 1/2 log₃2; в) 0; г) -1.