461. а) (2/3)^x · (9/8)^x = 27/64; б) √(8^(x−3)) = ∛(4^(2−x)); в) √(2^x) · √(3^x) = 36; г) (3/7)^(3x+1) = (7/3)^(5x−3).

а) Объединим степени с одинаковым показателем: \(\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^x\). Так как \(\frac{27}{64}=\left(\frac{3}{4}\right)^3\), получаем \(x=3\).

б) Запишем корни как степени: \(8^{(x-3)/2}=4^{(2-x)/3}\). Переходим к основанию 2: \(2^{3(x-3)/2}=2^{2(2-x)/3}\), значит \(\frac{3(x-3)}{2}=\frac{2(2-x)}{3}\). Умножая на 6, получаем \(9x-27=8-4x\), откуда \(x=\frac{7}{13}\).

в) \(\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=\sqrt{6^x}=6^{x/2}\). Тогда \(6^{x/2}=36=6^2\), следовательно, \(x=4\).

г) Пусть основание равно \(3/7\): правая часть \((7/3)^{5x-3}=(3/7)^{-(5x-3)}\). Приравниваем показатели: \(3x+1=-5x+3\), откуда \(x=\frac14\).

Ответ: а) 3; б) 7/13; в) 4; г) 1/4.