47 Дана окружность радиусом 12 см. Расстояние от центра окружности до хорды равно 6 см. Найдите угол между радиусами, проведенными к концам хорды.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R = 12 \) см — радиус. Пусть \( AB \) — хорда, а \( OM \) — перпендикуляр из центра к хорде, \( OM = 6 \) см. Тогда \( M \) — середина хорды \( AB \), и \( AM = MB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMA \). Гипотенуза \( OA = R = 12 \) см, катет \( OM = 6 \) см.

Найдем угол \( ∠AOM \) с помощью синуса:

\[ \sin(∠AOM) = \frac{AM}{OA} \]

Сначала найдем \( AM \) по теореме Пифагора: \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \).

\[ 12^2 = 6^2 + AM^2 \]

\[ 144 = 36 + AM^2 \]

\[ AM^2 = 144 - 36 = 108 \]

\[ AM = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем \( ∠AOM \):

\[ \sin(∠AOM) = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Следовательно, \( ∠AOM = 60° \).

Угол между радиусами, проведенными к концам хорды, это угол \( ∠AOB \). Поскольку \( OM \) — высота и медиана в равнобедренном треугольнике \( AOB \), то \( ∠AOM = ∠BOM = 60° \).

Угол \( ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM = 60° + 60° = 120° \).

Ответ: 120°.