47. Найдите общий вид выражения для записи натурального числа, которое: а) кратно 3; б) кратно 5; в) кратно 11; г) даёт при делении на 4 остаток 2; д) даёт при делении на 5 остаток 4; е) является нечётным.

Обозначим натуральное число через \(n\), а целое число, задающее количество шагов, — через \(k\).

1. а) Кратно 3: \(3k\).
2. б) Кратно 5: \(5k\).
3. в) Кратно 11: \(11k\).
4. г) При делении на 4 даёт остаток 2: \(4k+2\).
5. д) При делении на 5 даёт остаток 4: \(5k+4\).
6. е) Нечётное: \(2k+1\).

Здесь \(k\) выбирают так, чтобы полученное число было натуральным; для случаев г) и д) остаток меньше делителя, как и требуется.