48. 23 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=1+x/(x^2+3) положительно.

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1+x}{x^2+3} \). Используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 1+x \) и \( v = x^2+3 \).

Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 2x \).

Производная \( f'(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - (1+x) \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - (2x+2x^2)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 2x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \]

Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f'(x) > 0 \).

\[ \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} > 0 \]

Знаменатель \( (x^2+3)^2 \) всегда положителен, так как \( x^2 ≥ 0 \), следовательно \( x^2+3 > 0 \) и \( (x^2+3)^2 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, неравенство сводится к:

\[ -x^2 - 2x + 3 > 0 \]

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

\[ x^2 + 2x - 3 < 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2+4}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2-4}{2} = -3 \).

Парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) выполняется между корнями.

Следовательно, \( -3 < x < 1 \).

Ответ: (-3; 1).