49. 24 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=(1-x)/(x^2+8) отрицательно.

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} \). Используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 1-x \) и \( v = x^2+8 \).

Тогда \( u' = -1 \) и \( v' = 2x \).

Производная \( f'(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{(-1) \cdot (x^2+8) - (1-x) \cdot 2x}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - (2x-2x^2)}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} \]

Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f'(x) < 0 \).

\[ \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} < 0 \]

Знаменатель \( (x^2+8)^2 \) всегда положителен, так как \( x^2 ≥ 0 \), следовательно \( x^2+8 > 0 \) и \( (x^2+8)^2 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, неравенство сводится к:

\[ x^2 - 2x - 8 < 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2 \).

Парабола \( y = x^2 - 2x - 8 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 2x - 8 < 0 \) выполняется между корнями.

Следовательно, \( -2 < x < 4 \).

Ответ: (-2; 4).