50. 25 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 5 sin(x/5) + cos(2x)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 5 \sin(\frac{x}{5}) + \cos(2x) \), проинтегрируем каждый член отдельно.

Общая формула для первообразной \( ∫ f(x) dx = F(x) + C \).

1. Первообразная для \( 5 \sin(\frac{x}{5}) \):

Вспомним, что первообразная для \( \sin(ax) \) равна \( -\frac{1}{a}\cos(ax) \).

Здесь \( a = \frac{1}{5} \).

Следовательно, первообразная для \( 5 \sin(\frac{x}{5}) \) равна \( 5 \cdot (-\frac{1}{1/5} \cos(\frac{x}{5})) = 5 \cdot (-5 \cos(\frac{x}{5})) = -25 \cos(\frac{x}{5}) \).

2. Первообразная для \( \cos(2x) \):

Вспомним, что первообразная для \( \cos(ax) \) равна \( \frac{1}{a}\sin(ax) \).

Здесь \( a = 2 \).

Следовательно, первообразная для \( \cos(2x) \) равна \( \frac{1}{2}\sin(2x) \).

3. Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования \( C \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = -25 \cos(\frac{x}{5}) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C \]

Ответ: \( F(x) = -25 \cos(\frac{x}{5}) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C \).