48. Начертите произвольный четырёхугольник ABCD. Отметьте точку M₁ пересечения медиан треугольника ABC. Проведите отрезок M₁D, как показано на рисунке. Отметьте точку M₂ пересечения медиан треугольника BCD и соедините её отрезком с вершиной A. По аналогии проведите отрезки M₃B и M₄C. Какой факт вы заметили? Как бы вы это доказали? (рис.)

Пусть O — центр масс четырёх одинаковых точечных масс, расположенных в вершинах A, B, C, D. Тогда он является общей точкой отрезков DM₁, AM₂, BM₃ и CM₄.

Доказательство для DM₁: центр масс трёх одинаковых масс в A, B, C — точка M₁, масса которой равна сумме этих масс. Объединяя её с равной массой в D, получаем центр масс O на DM₁; поэтому O — точка пересечения этой прямой с аналогичными отрезками. Тот же аргумент применим к каждой вершине. Следовательно, все четыре отрезка проходят через общий центр масс четырёх вершин.

Например, если задать координаты вершин, то координаты общей точки равны \(O=((x_A+x_B+x_C+x_D)/4,(y_A+y_B+y_C+y_D)/4)\). Центр масс трёх вершин ABC имеет координаты \(M_1=((x_A+x_B+x_C)/3,(y_A+y_B+y_C)/3)\), откуда O лежит на DM₁ и делит его в отношении DO:OM₁ = 3:1. Аналогично для остальных трёх отрезков.

На рисунке произвольный четырёхугольник; средние линии пунктиром помогают найти центры масс треугольников. Точка O лежит на каждом из четырёх проведённых отрезков.

Ответ: отрезки DM₁, AM₂, BM₃ и CM₄ проходят через одну точку — центр масс четырёх вершин.