48. В цилиндре диагональ осевого сечения 10см, а диаметр основания 6см. Найти полную поверхность цилиндра.

Решение:

Дано:

• Диагональ осевого сечения \( d_{сеч} = 10 \) см
• Диаметр основания \( d = 6 \) см

Найти:

• Полная поверхность цилиндра \( S_{цил} \)

1. Определим радиус основания и высоту цилиндра.

Радиус основания \( r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна 10 см, а одна из сторон (диаметр основания) равна 6 см. Другая сторона прямоугольника — это высота цилиндра \( h \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю осевого сечения, диаметром основания и высотой цилиндра:

\( d_{сеч}^2 = d^2 + h^2 \)

\( 10^2 = 6^2 + h^2 \)

\( 100 = 36 + h^2 \)

\( h^2 = 100 - 36 = 64 \)

\( h = \sqrt{64} = 8 \) см

2. Найдем полную поверхность цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{цил} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).

Площадь основания \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2 \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48\pi \text{ см}^2 \).

\( S_{цил} = 2 \cdot 9\pi \text{ см}^2 + 48\pi \text{ см}^2 = 18\pi \text{ см}^2 + 48\pi \text{ см}^2 = 66\pi \text{ см}^2 \)

Ответ: Полная поверхность цилиндра равна 66\(\pi\) см².