480. а) Решите уравнение (√(x² + 2x − 7) − 1) log₃(9 + 2x − x²) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [log₃ 5; 2^√2].

Область определения требует выполнения условий \(x^2+2x-7\geq 0\) и \(9+2x-x^2>0\). Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один из множителей.

1. Приравняем к нулю первый множитель:

\(\sqrt{x^2+2x-7}-1=0\), откуда \(x^2+2x-8=0\) и \(x=2\) или \(x=-4\). Условию области определения логарифма удовлетворяет только x = 2.

2. Приравняем к нулю логарифм:

\(\log_3(9+2x-x^2)=0\), поэтому \(9+2x-x^2=1\). Отсюда \(x^2-2x-8=0\), то есть x = 4 или x = −2. Оба значения удовлетворяют области определения исходного уравнения.

Итак, корни уравнения: −2, 2 и 4.

б) Приближённо \(\log_3 5\approx1.465\), а \(2^{\sqrt{2}}\approx2.665\). Из найденных корней этому промежутку принадлежит только 2.

Ответ: а) −2, 2, 4; б) 2.