485. Докажите признак средней линии треугольника: если через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, и эта прямая пересекает сторону AC в точке N, то MN — средняя линия треугольника ABC.

Через C проведём прямую, параллельную AB; пусть она пересекает прямую MN в точке D. Четырёхугольник BCDM — параллелограмм, так как BC ∥ MD и AB ∥ CD.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому MB = CD. По условию M — середина AB, следовательно, AM = MB. Значит, AM = CD.

Так как AB ∥ CD, а AC и MD — секущие, накрест лежащие углы равны: ∠MAN = ∠DCN и ∠AMN = ∠CDN. Следовательно, треугольники AMN и CDN равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AN = NC.

Итак, M — середина AB, N — середина AC. По определению отрезок MN является средней линией треугольника ABC.