488. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух сторон угла последовательно отложить несколько равных отрезков, то прямые, проведённые через их концы параллельно друг другу и пересекающие вторую сторону угла, отсекают на ней равные отрезки.

Пусть лучи угла имеют общую вершину O. На одном луче последовательно отмечены точки A₀, A₁, …, Aₙ так, что соседние отрезки равны: A₀A₁ = A₁A₂ = … = Aₙ₋₁Aₙ. Через эти точки проведены параллельные прямые, пересекающие второй луч в точках B₀, B₁, …, Bₙ соответственно.

Треугольники OAᵢBᵢ подобны: у них общий угол O, а соответствующие стороны AᵢBᵢ параллельны. Поэтому отношение OBᵢ/OAᵢ одно и то же для всех i; обозначим его k.

Тогда OBᵢ₊₁ − OBᵢ = k(OAᵢ₊₁ − OAᵢ). Все отрезки AᵢAᵢ₊₁ равны, следовательно, разности OAᵢ₊₁ − OAᵢ одинаковы. Значит, одинаковы и разности OBᵢ₊₁ − OBᵢ.

Таким образом, отрезки B₀B₁, B₁B₂, …, Bₙ₋₁Bₙ равны, что и требовалось доказать.