49*. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью \(v_1=10\) м/с, а вторую половину пути со скоростью \(v_2=15\) м/с. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений \(v_1\) и \(v_2\).

Пусть весь путь равен \(S\). Тогда каждая половина пути равна \(\frac{S}{2}\).

Время движения:

\[t=\frac{S/2}{v_1}+\frac{S/2}{v_2}=\frac{S}{2}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right).\]

Средняя скорость:

\[v_{ср}=\frac{S}{t}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.\]

Подставим значения:

\[v_{ср}=\frac{2\cdot10\cdot15}{10+15}=\frac{300}{25}=12\text{ м/с}.\]

Среднее арифметическое:

\[\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{10+15}{2}=12.5\text{ м/с}.\]

Докажем неравенство:

\[\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}<\frac{v_1+v_2}{2},\]

так как после умножения на положительное число \(2(v_1+v_2)\) получаем \(4v_1v_2<(v_1+v_2)^2\), то есть \((v_1-v_2)^2>0\) при \(v_1\ne v_2\).

Ответ: \(v_{ср}=12\) м/с; это меньше среднего арифметического \(12.5\) м/с.