49*. Автомобиль прошёл первую половину пути со скоростью v₁ = 10 м/с, а вторую половину пути со скоростью v₂ = 15 м/с. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений v₁ и v₂.

Пусть весь путь равен \(S\). Каждая половина пути равна \(S/2\).

1. Время на первой половине: \(t_1=\frac{S/2}{v_1}=\frac{S}{2v_1}\).
2. Время на второй половине: \(t_2=\frac{S}{2v_2}\).
3. Средняя скорость на всём пути:
   \[v_{\text{ср}}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.\]
4. Подставим значения: \(v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot10\cdot15}{10+15}=12\ \text{м/с}\).
5. Среднее арифметическое скоростей равно \(\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{10+15}{2}=12.5\ \text{м/с}\). При положительных неравных скоростях \(\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}<\frac{v_1+v_2}{2}\), поскольку это равносильно \(4v_1v_2<(v_1+v_2)^2\), то есть \(0<(v_1-v_2)^2\).

Ответ: средняя скорость равна 12 м/с, что меньше среднего арифметического 12.5 м/с.