49. Упростите выражение: 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3$; 2) $\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)^3+2\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)^8$; 3) $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}-\left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5$; 4) $\left(\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)^5-\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[10]{a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 49. Упростите выражение: 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Первое слагаемое: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}=a^2$. Второе: $\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3=a^2$. Значит, сумма равна $2a^2$.
Для действительных выражений требуется $x\geq0$. Тогда $\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)^3=x$, а $\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)^8=x$. Следовательно, $x+2x=3x$.
$\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}=|x|y^2$, а $\left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5=xy^2$. Поэтому выражение равно $(|x|-x)y^2$. При обычном для таких упражнений предположении $x\geq0$ оно равно 0.
При $a>0$: $\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)^5=a^{6/5}$. Числитель равен $a^{6/5}-a^{1/5}=a^{1/5}(a-1)$, знаменатель $\sqrt[10]{a^2}=a^{1/5}$. После сокращения получаем $a-1$.

Ответ: 1) $2a^2$; 2) $3x$; 3) $(|x|-x)y^2$ (при $x\geq0$ — 0); 4) $a-1$ при $a>0$.