491. Докажите, что значения выражений $\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ и $\sqrt{7+4\sqrt{3}}\cdot\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ являются натуральными числами.

Question

Вопрос: $Фото задания: 491. Докажите, что значения выражений $\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Заметим, что $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$, а $7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$. Поскольку $2-\sqrt{3}>0$, получаем:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$, $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.

Сумма:

$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$, а $4$ — натуральное число.

Произведение:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$, а $1$ — натуральное число.

491. Докажите, что значения выражений \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\) и \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\cdot\sqrt{7-4\sqrt{3}}\) являются натуральными числами.