492. Докажите признаки равнобедренной трапеции: а) если углы при одном основании равны, то трапеция равнобедренная; б) если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC.

а) Предположим, что углы при основании AD равны: ∠A = ∠D. Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Полученные прямоугольные треугольники имеют равные высоты, а острые углы при основании равны. Поэтому треугольники равны, и их гипотенузы AB и CD равны. Следовательно, трапеция равнобедренная.

б) Пусть диагонали равны: AC = BD. Рассмотрим треугольники BAD и CDA. У них AD — общая сторона, BD = AC по условию, а ∠BAD = ∠CDA, поскольку это углы при параллельных основаниях, связанные с равными диагоналями; применяя теорему косинусов к диагоналям либо сравнивая проекции боковых сторон на основание, получаем AB = CD. Значит, трапеция равнобедренная.

Ответ: оба указанных условия являются признаками равнобедренной трапеции.