491. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где AD ∥ BC, а боковые стороны AB = CD.

а) Углы при каждом основании равны. Опустим перпендикуляры BE и CF из точек B и C на основание AD. Поскольку расстояние между параллельными прямыми постоянно, BE = CF. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BE = CF. Следовательно, ∠A = ∠D. Так как AD ∥ BC, углы при боковой стороне AB supplementary: ∠A + ∠B = 180°; аналогично ∠D + ∠C = 180°. Из ∠A = ∠D следует ∠B = ∠C.

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники BAD и CDA. У них AB = CD (боковые стороны равнобедренной трапеции), AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA по доказанному свойству углов при основании. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому их соответствующие стороны равны: BD = AC.