497. Найдите \(x\), если: а) \(\log_6 x=3\log_6 2+0.5\log_6 25-2\log_6 3\); б) \(\lg x=\frac12\lg 5a-3\lg b+4\lg c\); в) \(\lg x=5\lg m+\frac23\lg n-\frac14\lg p\).

Применяем свойства логарифмов; для существования выражений аргументы логарифмов должны быть положительными.

1. а) \(\log_6 x=\log_6 2^3+\log_6 25^{1/2}-\log_6 3^2=\log_6\frac{8\cdot5}{9}=\log_6\frac{40}{9}\). Следовательно, \(x=\frac{40}{9}\).
2. б) При \(a,b,c>0\): \(\lg x=\lg(5a)^{1/2}-\lg b^3+\lg c^4=\lg\left(\frac{c^4\sqrt{5a}}{b^3}\right)\). Следовательно, \(x=\frac{c^4\sqrt{5a}}{b^3}\).
3. в) При \(m,n,p>0\): \(\lg x=\lg m^5+\lg n^{2/3}-\lg p^{1/4}=\lg\left(\frac{m^5n^{2/3}}{p^{1/4}}\right)\). Следовательно, \(x=\frac{m^5n^{2/3}}{p^{1/4}}\).

Ответ: а) \(x=\frac{40}{9}\); б) \(x=\frac{c^4\sqrt{5a}}{b^3}\); в) \(x=\frac{m^5n^{2/3}}{p^{1/4}}\).