498. Докажите: а) $\log_{1/2}3+\log_3\frac12<-2$; б) $4^{\log_5 7}=7^{\log_5 4}$; в) $\log_3 7+\log_7 3>2$; г) $3^{\log_2 5}=5^{\log_2 3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 498. Докажите: а) $\log_{1/2}3+\log_3\frac12<-2$; б) $4^{\log_5 7}=7^{\log_5 4}$; в) $\log_3 7+\log_7 3>2$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Обозначим $t=\log_2 3$. Тогда $\log_{1/2}3=-t$, а $\log_3\frac12=-\frac1t$. По неравенству между средним арифметическим и геометрическим, $t+\frac1t\ge2$ при $t>0$. Здесь $t\ne1$, поэтому неравенство строгое: $\log_{1/2}3+\log_3\frac12=-\left(t+\frac1t\right)<-2$.
б) Возьмём логарифм обеих частей по основанию 5. Для левой части получим $\log_5(4^{\log_5 7})=\log_5 4\cdot\log_5 7$, для правой — $\log_5(7^{\log_5 4})=\log_5 7\cdot\log_5 4$. Эти выражения равны, следовательно, равны и исходные части.
в) Положим $u=\log_3 7>0$. Тогда $\log_7 3=\frac1u$. Поскольку $u\ne1$, имеем $u+\frac1u>2$. Значит, $\log_3 7+\log_7 3>2$.
г) Логарифмы обеих частей по основанию 2 равны: $\log_2(3^{\log_2 5})=\log_2 3\cdot\log_2 5$ и $\log_2(5^{\log_2 3})=\log_2 5\cdot\log_2 3$. Следовательно, исходные выражения равны.

498. Докажите: а) \(\log_{1/2}3+\log_3\frac12<-2\); б) \(4^{\log_5 7}=7^{\log_5 4}\); в) \(\log_3 7+\log_7 3>2\); г) \(3^{\log_2 5}=5^{\log_2 3}\).