5*. В окружности с центром O проведен диаметр AB, пересекающий хорду CD в точке K, причем K - середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ∠BAD.

Дано: Окружность с центром O, AB - диаметр, CD - хорда, K - середина хорды CD, ∠CAD = 40°. Найти: ∠BAD. Решение: 1) Так как K - середина хорды CD, а AB - диаметр окружности, то AB перпендикулярен CD (диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей). 2) Получается, что ∠AKC = 90°. 3) Рассмотрим треугольник ACK. ∠AKC = 90°, ∠CAD = 40°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол ∠ACK = 180° - 90° - 40° = 50°. 4) Диаметр AB делит окружность на две равные дуги. Вписанный угол ∠ACB опирается на диаметр, поэтому ∠ACB = 90° (свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр). 5) Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть ∠ACB = 90°, ∠BAC = 40° + ∠BAD, ∠ABC = 180° - 90° - 40° - ∠BAD = 50° - ∠BAD 6) Мы можем найти угол ABC, так как сумма углов треугольника 180, то есть ∠BAC + ∠ABC +∠ACB = 180. Отсюда 40 + ∠BAD + 50 - ∠BAD +90 = 180, 180 = 180. Таким образом, у нас нет информации, чтоб найти ∠ABC. 7) Угол ∠ABC - это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Угол ∠ADC также опирается на дугу AC. 8) Угол ∠ABC и ∠ADC равны. 9) Угол ∠ADC это ∠ADK + ∠KDC. Так как AK является высотой и медианой, то треугольник ADK=ACK, тогда ∠CAD=∠DAK = 40, ∠ADK=∠ACK=50. 10) Тогда ∠ADC=50. 11) ∠ABC = 50. 12) ∠ABC = 50 = 50-∠BAD. Значит ∠BAD=0. Это противоречие, так как по условию ∠CAD = 40, а они образуют угол ∠BAC. 13) По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, углы ∠ADC и ∠ABC равны. 14) Из ∆AKC угол ∠ACK = 180 - 90 - 40 = 50. Угол ∠ACB = 90, так как опирается на диаметр. Тогда угол ∠BCK = 90 - 50 = 40. 15) ∠BAD = ∠BCD = 40° (так как они оба опираются на хорду BD) Ответ: 40°