5. (1 балл) Точка М лежит вне окружности с центром в точке О. Точка К принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая МК — касательная к окружности.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром \( O \), точка \( M \) вне окружности, точка \( K \) на окружности. \( \angle KMO + \angle MOK = 90° \).

Доказать: Прямая \( MK \) — касательная к окружности.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник \( MOK \).

Сумма углов треугольника равна \( 180° \).

\( \angle MKO = 180° - (\angle KMO + \angle MOK) \).

По условию, \( \angle KMO + \angle MOK = 90° \).

Следовательно, \( \angle MKO = 180° - 90° = 90° \).

Если угол \( \angle MKO = 90° \), то отрезок \( OK \) перпендикулярен отрезку \( MK \).

Отрезок \( OK \) является радиусом окружности, так как \( O \) — центр окружности, а \( K \) — точка на окружности.

Прямая \( MK \) содержит отрезок \( MK \).

Так как радиус \( OK \) перпендикулярен прямой \( MK \) в точке \( K \), то по определению касательной, прямая \( MK \) является касательной к окружности в точке \( K \).

Что и требовалось доказать.