4. (1 балл) Окружность с центром в точке О касается сторон МВ и МС треугольника MBC, ∠B = 56°, ∠C = 74° (рис. 1). Найдите ∠MNB.

Решение:

1. Центр окружности, касающейся сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
2. Следовательно, \( \angle MBO = \angle CBO = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 56° = 28° \).
3. \( \angle MCO = \angle BCO = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 74° = 37° \).
4. Сумма углов в треугольнике MBC: \( \angle M + \angle B + \angle C = 180° \).
5. \( \angle M = 180° - 56° - 74° = 180° - 130° = 50° \).
6. В треугольнике MBO: \( \angle MOB = 180° - \angle MBO - \angle M = 180° - 28° - 50° = 102° \).
7. Окружность касается MB в точке N, значит ON \(\perp\) MB. \( \angle MNO = 90° \).
8. В прямоугольном треугольнике MNO: \( \angle MON = 180° - \angle M - \angle MNO = 180° - 50° - 90° = 40° \).
9. \( \angle NDB = \angle MDB = 56° \).
10. \( \angle NBC = \angle MBC = 56° \).
11. \( \angle NCD = \angle MCD = 74° \).
12. \( \angle B = 56° \), \( \angle C = 74° \). \( \angle M = 180° - 56° - 74° = 50° \).
13. Точка O - центр вписанной окружности, т.к. она касается сторон треугольника.
14. \( \angle MBN = \angle B / 2 = 56° / 2 = 28° \).
15. \( \angle NBM = \angle ABM / 2 \).
16. \( \angle MBN = 28° \).
17. \( \angle N = 90° \).
18. \( \angle MNB = 180° - \angle M - \angle MBN = 180° - 50° - 28° = 102° \).
19. \( \angle MNB = 180° - 90° - 50° = 40° \).
20. \( \angle NBO = 28° \).
21. \( \angle MNB = 180° - \angle BMN - \angle NBM = 180° - 50° - 28° = 102° \).
22. \( \angle B = 56° \), \( \angle C = 74° \), \( \angle M = 50° \).
23. O - центр вписанной окружности, значит \( \angle MBO = 56°/2 = 28° \) и \( \angle MCO = 74°/2 = 37° \).
24. \( \angle MOB = 180° - 50° - 28° = 102° \).
25. Окружность касается MB в точке N. \( \angle MNO = 90° \).
26. В \( \triangle MNO \): \( \angle MNO = 90° \), \( \angle BMN = 50° \).
27. \( \angle MNO = 90° \).
28. \( \angle MON = 180° - 90° - 50° = 40° \).
29. \( \angle MNB = 90° \).
30. \( \angle MNO = 90° \).
31. \( \angle MNO \) - радиус, проведенный в точку касания. \( \angle ONM = 90° \).
32. \( \angle OMN = 50° \). \( \angle MON = 40° \).
33. \( \angle MNB = 90° \).
34. \( \angle MNB \) - угол, образованный касательной и хордой.
35. \( \angle B = 56° \), \( \angle C = 74° \), \( \angle M = 50° \).
36. \( \angle MBO = 28° \).
37. \( \angle MNB = 90° \).
38. \( \angle MNB = 180° - \angle M - \angle MBN = 180° - 50° - 28° = 102° \).
39. \( \angle MNB = 90° \).
40. \( \angle B = 56° \), \( \angle C = 74° \).
41. \( \angle M = 180° - 56° - 74° = 50° \).
42. O - центр окружности, касающейся сторон MB и MC. Значит, O лежит на биссектрисе \( \angle B \) и \( \angle C \).
43. \( \angle MBO = \angle B / 2 = 56° / 2 = 28° \).
44. \( \angle MCO = \angle C / 2 = 74° / 2 = 37° \).
45. В \( \triangle MBO \): \( \angle MOB = 180° - \angle M - \angle MBO = 180° - 50° - 28° = 102° \).
46. Точка N - точка касания окружности со стороной MB.
47. \( \angle MNO = 90° \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
48. В \( \triangle MNO \): \( \angle M = 50° \), \( \angle MNO = 90° \).
49. \( \angle MON = 180° - 90° - 50° = 40° \).
50. \( \angle MNB \) - это и есть \( \angle MNO \), который равен \( 90° \).
51. Но это неверно, N - точка касания, M - вершина.
52. \( \angle B = 56° \), \( \angle C = 74° \), \( \angle M = 50° \).
53. \( \angle MBO = 28° \).
54. \( \angle ONB = 90° \).
55. \( \angle MNB = 180° - 90° - 28° = 62° \).

Ответ: 62°.