5.1. Докажите, что при всех допустимых значениях \(t\) выражение \(\frac{6(t+1{,}5)}{t^3-27}+\frac{1}{3-t}+\frac{t}{t^2+3t+9}\) тождественно равно нулю.

Область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в нуль. Поскольку \(t^3-27=(t-3)(t^2+3t+9)\), исключаем \(t=3\). Для действительных \(t\) выражение \(t^2+3t+9\) всегда положительно.

Разложим знаменатель разности кубов и приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{6(t+1.5)}{(t-3)(t^2+3t+9)}-\frac{1}{t-3}+\frac{t}{t^2+3t+9}\]

Здесь \(6(t+1.5)=6t+9\). Общий знаменатель — \((t-3)(t^2+3t+9)\), поэтому

\[\frac{6t+9-(t^2+3t+9)+t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)}=\frac{0}{(t-3)(t^2+3t+9)}=0.\]

Следовательно, равенство верно при всех допустимых значениях \(t\), то есть при \(t\ne3\).

Ответ: выражение тождественно равно нулю при \(t\ne3\).