5.1. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение \(\frac{8(t+2)}{t^3-64}+\frac{1}{4-t}+\frac{t}{t^2+4t+16}\) тождественно равно нулю.

Область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в нуль. Так как \(t^3-64=(t-4)(t^2+4t+16)\), необходимо исключить \(t=4\). Квадратный трёхчлен \(t^2+4t+16\) действительных корней не имеет.

Разложим разность кубов и учтём, что \(4-t=-(t-4)\):

\[\frac{8(t+2)}{(t-4)(t^2+4t+16)}-\frac{1}{t-4}+\frac{t}{t^2+4t+16}.\]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8(t+2)-(t^2+4t+16)+t(t-4)}{(t-4)(t^2+4t+16)}.\]

Числитель равен \(8t+16-t^2-4t-16+t^2-4t=0\). Поэтому при каждом допустимом значении \(t\) всё выражение равно нулю.

Ответ: тождество верно при \(t\ne4\).