5.3. Упростите выражение: \(\left(x+4-\frac{x^3-36}{x(x-3)}+\frac9x\right):\left(1+\frac9{x^2-3x}\right)\cdot\frac{x^2+6x+9}{1+\frac3x}\).

Сначала найдём область допустимых значений исходного выражения. Из знаменателей получаем \(x\ne0\), \(x\ne3\), а из знаменателя \(1+\frac3x\) — также \(x\ne-3\). Выражение, на которое делим, не должно быть нулём.

Упростим первую скобку, приведя слагаемые к знаменателю \(x(x-3)\):

\[x+4-\frac{x^3-36}{x(x-3)}+\frac9x=\frac{(x+4)x(x-3)-(x^3-36)+9(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x^2-3x+9}{x(x-3)}.\]

Упростим вторую скобку:

\[1+\frac9{x^2-3x}=1+\frac9{x(x-3)}=\frac{x^2-3x+9}{x(x-3)}.\]

Квадратный трёхчлен \(x^2-3x+9\) не равен нулю при действительных \(x\): его дискриминант равен \(9-36=-27<0\). Значит, деление на вторую скобку допустимо для всех значений, оставшихся в области определения. Первые две скобки равны, поэтому их частное равно 1.

Упростим оставшуюся дробь:

\[\frac{x^2+6x+9}{1+\frac3x}=\frac{(x+3)^2}{\frac{x+3}{x}}=x(x+3).\]

Значение \(x=-3\) по-прежнему исключено, поскольку оно делает знаменатель исходной дроби \(1+\frac3x\) равным нулю.

Ответ: \(x(x+3)\), при \(x\ne-3,0,3\).