5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)$ при всех допустимых значениях $b$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)$…$ Фото задания

5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)$ при всех допустимых значениях $b$ не зависит от $b$.

Accepted Answer

Сначала найдём допустимые значения: из знаменателей следует, что $b\ne0$ и $b\ne2$. Кроме того, делитель не должен быть равен нулю:

\[1+\frac{1}{b(b-2)}=\frac{b^2-2b+1}{b(b-2)}=\frac{(b-1)^2}{b(b-2)},\]

поэтому $b\ne1$.

Упростим выражение в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю:

\[b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}=\frac{(b+3)b(b-2)-(b^3-9)+4(b-2)}{b(b-2)}.\]

Числитель равен $b^3+b^2-6b-b^3+9+4b-8=b^2-2b+1=(b-1)^2$. Значит, первые скобки равны $\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}$, как и вторые.

Следовательно, при допустимых $b$ частное равно $1$.

Ответ: значение выражения не зависит от $b$ и равно 1; допустимые значения: $b\ne0,1,2$.

5.1. Докажите, что значение выражения \(\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)\) при всех допустимых значениях \(b\) не зависит от \(b\).

Ответ: