5.2. Найдите допустимые значения переменной в выражении \(\frac{x(x^2-1)}{x^3+x}\) и определите, при каких значениях переменной данная рациональная дробь равна нулю.

Знаменатель должен быть отличен от нуля:

\[x^3+x=x(x^2+1)\ne0.\]

Для действительных \(x\) величина \(x^2+1\) всегда положительна, поэтому требуется \(x\ne0\). Это и есть допустимые значения.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0.\]

Числитель обращается в ноль при \(x=-1,0,1\), но \(x=0\) недопустимо.

Ответ: допустимые значения — все действительные \(x\ne0\); дробь равна нулю при \(x=-1\) и \(x=1\).