5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac4b\right):\left(1+\frac1{b^2-2b}\right)$ при всех допустимых значениях $b$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac4b\right):\left(1+\frac1{b^2-2b}\right)$ при…$ Фото задания

5.1. Докажите, что значение выражения $\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac4b\right):\left(1+\frac1{b^2-2b}\right)$ при всех допустимых значениях $b$ не зависит от $b$.

Accepted Answer

Сначала найдём допустимые значения: из знаменателей следует, что $b\ne0$ и $b\ne2$. Кроме того, делитель не должен быть равен нулю.

Преобразуем первую скобку, приведя слагаемые к общему знаменателю:

\[b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac4b=\frac{(b+3)b(b-2)-(b^3-9)+4(b-2)}{b(b-2)}=\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}.\]

Вторая скобка:

\[1+\frac1{b^2-2b}=1+\frac1{b(b-2)}=\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}.\]

Она равна нулю при $b=1$, поэтому это значение также недопустимо. При $b\ne0,1,2$ делим равные ненулевые выражения:

\[\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}:\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}=1.\]

Ответ: значение выражения постоянно и равно 1 при всех допустимых $b$, то есть при $b\ne0,1,2$.

5.1. Докажите, что значение выражения \(\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac4b\right):\left(1+\frac1{b^2-2b}\right)\) при всех допустимых значениях \(b\) не зависит от \(b\).

Ответ: