5.11. а) \(|\sqrt{51}-7|+|\sqrt{51}-5\sqrt3|+|\sqrt{75}-11|\); б) \(|1-\sqrt2|+|\sqrt2-2\sqrt2|+|2\sqrt2-3\sqrt2|+\ldots+|5\sqrt2-6\sqrt2|+|6\sqrt2-9|\).

а) Сравним выражения под модулями: \(7<\sqrt{51}\), \(\sqrt{51}<5\sqrt3\) (так как \(51<75\)), а \(\sqrt{75}=5\sqrt3<11\). Тогда

\((\sqrt{51}-7)+(5\sqrt3-\sqrt{51})+(11-5\sqrt3)=4\).

б) Так как \(1<\sqrt2\), первые модули равны \(\sqrt2-1\). Каждый из четырёх промежуточных модулей от \(|\sqrt2-2\sqrt2|\) до \(|5\sqrt2-6\sqrt2|\) равен \(\sqrt2\). Кроме того, \(6\sqrt2<9\), поэтому последний модуль равен \(9-6\sqrt2\). Следовательно, сумма равна \((\sqrt2-1)+4\sqrt2+(9-6\sqrt2)=8-\sqrt2\).

Ответ: а) 4; б) \(8-\sqrt2\).