5.111. Муравей бежит по куску дерева, имеющему форму куба. Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную (рис. 5.33) кратчайшим путём? Сколько таких путей существует?

Развернём три грани куба, соседние с выбранной вершиной, в прямоугольник размером \(2a\times a\), где \(a\) — ребро куба. Кратчайший путь по поверхности становится диагональю этого прямоугольника: он проходит по трём граням куба.

В развертке длина пути равна \(\sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt{5}\). Симметрично можно выбрать шесть вариантов расположения такого развертывания, значит, существует шесть кратчайших путей.

Ответ: муравью нужно пробежать по диагонали развертки трёх граней; таких путей 6.